Решить {l}{x+2y=7}{3x-2y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

Найдите x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$x+2y=7$$

Вычтите 2y из обеих частей уравнения.

$$x=-2y+7$$

Подставьте -2y+7 вместо x в другом уравнении 3x-2y=-3.

$$3\left(-2y+7\right)-2y=-3$$

Умножьте 3 на -2y+7.

$$-6y+21-2y=-3$$

Прибавьте -6y к -2y.

$$-8y+21=-3$$

Вычтите 21 из обеих частей уравнения.

$$-8y=-24$$

Разделите обе части на -8.

$$y=3$$

Подставьте 3 вместо y в x=-2y+7. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-2\times 3+7$$

Умножьте -2 на 3.

$$x=-6+7$$

Прибавьте 7 к -6.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=3$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 3}&-\frac{2}{-2-2\times 3}\\-\frac{3}{-2-2\times 3}&\frac{1}{-2-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=1,y=3$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Чтобы сделать x и 3x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 3 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$3x+3\times 2y=3\times 7,3x-2y=-3$$

Упростите.

$$3x+6y=21,3x-2y=-3$$

Вычтите 3x-2y=-3 из 3x+6y=21 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$3x-3x+6y+2y=21+3$$

Прибавьте 3x к -3x. Члены 3x и -3x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$6y+2y=21+3$$

Прибавьте 6y к 2y.

$$8y=21+3$$

Прибавьте 21 к 3.

$$8y=24$$

Разделите обе части на 8.

$$y=3$$

Подставьте 3 вместо y в 3x-2y=-3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$3x-2\times 3=-3$$

Умножьте -2 на 3.

$$3x-6=-3$$

Прибавьте 6 к обеим частям уравнения.

$$3x=3$$

Разделите обе части на 3.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=3$$