Решить {l}{x+2y=60}{x-y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

Найдите x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$x+2y=60$$

Вычтите 2y из обеих частей уравнения.

$$x=-2y+60$$

Подставьте -2y+60 вместо x в другом уравнении x-y=30.

$$-2y+60-y=30$$

Прибавьте -2y к -y.

$$-3y+60=30$$

Вычтите 60 из обеих частей уравнения.

$$-3y=-30$$

Разделите обе части на -3.

$$y=10$$

Подставьте 10 вместо y в x=-2y+60. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-2\times 10+60$$

Умножьте -2 на 10.

$$x=-20+60$$

Прибавьте 60 к -20.

$$x=40$$

Система решена.

$$x=40,y=10$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=40,y=10$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Вычтите x-y=30 из x+2y=60 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$x-x+2y+y=60-30$$

Прибавьте x к -x. Члены x и -x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$2y+y=60-30$$

Прибавьте 2y к y.

$$3y=60-30$$

Прибавьте 60 к -30.

$$3y=30$$

Разделите обе части на 3.

$$y=10$$

Подставьте 10 вместо y в x-y=30. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x-10=30$$

Прибавьте 10 к обеим частям уравнения.

$$x=40$$

Система решена.

$$x=40,y=10$$