Решить {l}{4x-5y=7}{2x+3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$4x-5y=7$$

Прибавьте 5y к обеим частям уравнения.

$$4x=5y+7$$

Разделите обе части на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)$$

Умножьте \frac{1}{4} на 5y+7.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

Подставьте \frac{5y+7}{4} вместо x в другом уравнении 2x+3y=1.

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1$$

Умножьте 2 на \frac{5y+7}{4}.

$$\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1$$

Прибавьте \frac{5y}{2} к 3y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1$$

Вычтите \frac{7}{2} из обеих частей уравнения.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{11}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Подставьте -\frac{5}{11} вместо y в x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}$$

Умножьте \frac{5}{4} на -\frac{5}{11}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}$$

Прибавьте \frac{7}{4} к -\frac{25}{44}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{13}{11}$$

Система решена.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

Чтобы сделать 4x и 2x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 2 и все члены в обеих частях второго уравнения на 4.

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4$$

Упростите.

$$8x-10y=14,8x+12y=4$$

Вычтите 8x+12y=4 из 8x-10y=14 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$8x-8x-10y-12y=14-4$$

Прибавьте 8x к -8x. Члены 8x и -8x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-10y-12y=14-4$$

Прибавьте -10y к -12y.

$$-22y=14-4$$

Прибавьте 14 к -4.

$$-22y=10$$

Разделите обе части на -22.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Подставьте -\frac{5}{11} вместо y в 2x+3y=1. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1$$

Умножьте 3 на -\frac{5}{11}.

$$2x-\frac{15}{11}=1$$

Прибавьте \frac{15}{11} к обеим частям уравнения.

$$2x=\frac{26}{11}$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{13}{11}$$

Система решена.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$