Решить {l}{2x-3y=5}{3x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x-3y=5$$

Прибавьте 3y к обеим частям уравнения.

$$2x=3y+5$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Подставьте \frac{3y+5}{2} вместо x в другом уравнении 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-2y=5$$

Умножьте 3 на \frac{3y+5}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}-2y=5$$

Прибавьте \frac{9y}{2} к -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

Вычтите \frac{15}{2} из обеих частей уравнения.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{5}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Умножьте \frac{3}{2} на -1.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к -\frac{3}{2}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=-1$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=1,y=-1$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Чтобы сделать 2x и 3x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 3 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5$$

Упростите.

$$6x-9y=15,6x-4y=10$$

Вычтите 6x-4y=10 из 6x-9y=15 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$6x-6x-9y+4y=15-10$$

Прибавьте 6x к -6x. Члены 6x и -6x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-9y+4y=15-10$$

Прибавьте -9y к 4y.

$$-5y=15-10$$

Прибавьте 15 к -10.

$$-5y=5$$

Разделите обе части на -5.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в 3x-2y=5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Умножьте -2 на -1.

$$3x+2=5$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$3x=3$$

Разделите обе части на 3.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=-1$$