Решить {l}{2x-3y=15}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y = -\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5} = -2.6$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x-3y=15$$

Прибавьте 3y к обеим частям уравнения.

$$2x=3y+15$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на 15+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Подставьте \frac{15+3y}{2} вместо x в другом уравнении x+y=1.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=1$$

Прибавьте \frac{3y}{2} к y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=1$$

Вычтите \frac{15}{2} из обеих частей уравнения.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{5}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=-\frac{13}{5}$$

Подставьте -\frac{13}{5} вместо y в x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{13}{5}\right)+\frac{15}{2}$$

Умножьте \frac{3}{2} на -\frac{13}{5}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-\frac{39}{10}+\frac{15}{2}$$

Прибавьте \frac{15}{2} к -\frac{39}{10}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{18}{5}$$

Система решена.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Чтобы сделать 2x и x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$2x-3y=15,2x+2y=2$$

Вычтите 2x+2y=2 из 2x-3y=15 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$2x-2x-3y-2y=15-2$$

Прибавьте 2x к -2x. Члены 2x и -2x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-3y-2y=15-2$$

Прибавьте -3y к -2y.

$$-5y=15-2$$

Прибавьте 15 к -2.

$$-5y=13$$

Разделите обе части на -5.

$$y=-\frac{13}{5}$$

Подставьте -\frac{13}{5} вместо y в x+y=1. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x-\frac{13}{5}=1$$

Прибавьте \frac{13}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{18}{5}$$

Система решена.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$