Skip to main content
$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right. $
Найдите x, y
Tick mark Image
График

Подобные задачи из результатов поиска в Интернете

Поделиться

2x+y=6,4x-y=7
Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.
2x+y=6
Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.
2x=-y+6
Вычтите y из обеих частей уравнения.
x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)
Разделите обе части на 2.
x=-\frac{1}{2}y+3
Умножьте \frac{1}{2} на -y+6.
4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7
Подставьте -\frac{y}{2}+3 вместо x в другом уравнении 4x-y=7.
-2y+12-y=7
Умножьте 4 на -\frac{y}{2}+3.
-3y+12=7
Прибавьте -2y к -y.
-3y=-5
Вычтите 12 из обеих частей уравнения.
y=\frac{5}{3}
Разделите обе части на -3.
x=-\frac{1}{2}\times \left(\frac{5}{3}\right)+3
Подставьте \frac{5}{3} вместо y в x=-\frac{1}{2}y+3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.
x=-\frac{5}{6}+3
Умножьте -\frac{1}{2} на \frac{5}{3}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.
x=\frac{13}{6}
Прибавьте 3 к -\frac{5}{6}.
x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}
Система решена.
2x+y=6,4x-y=7
Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.
\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
Запишите уравнения в матричном виде.
inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
Перемножение матриц слева от знака равенства.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)
Выполните арифметические операции.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)
Перемножьте матрицы.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)
Выполните арифметические операции.
x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}
Извлеките элементы матрицы x и y.
2x+y=6,4x-y=7
Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.
4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7
Чтобы сделать 2x и 4x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 4 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.
8x+4y=24,8x-2y=14
Упростите.
8x-8x+4y+2y=24-14
Вычтите 8x-2y=14 из 8x+4y=24 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.
4y+2y=24-14
Прибавьте 8x к -8x. Члены 8x и -8x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.
6y=24-14
Прибавьте 4y к 2y.
6y=10
Прибавьте 24 к -14.
y=\frac{5}{3}
Разделите обе части на 6.
4x-\frac{5}{3}=7
Подставьте \frac{5}{3} вместо y в 4x-y=7. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.
4x=\frac{26}{3}
Прибавьте \frac{5}{3} к обеим частям уравнения.
x=\frac{13}{6}
Разделите обе части на 4.
x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}
Система решена.