Решить {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x+y=6$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$2x=-y+6$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Подставьте -\frac{y}{2}+3 вместо x в другом уравнении 4x-y=7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

Умножьте 4 на -\frac{y}{2}+3.

$$-2y+12-y=7$$

Прибавьте -2y к -y.

$$-3y+12=7$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$-3y=-5$$

Разделите обе части на -3.

$$y=\frac{5}{3}$$

Подставьте \frac{5}{3} вместо y в x=-\frac{1}{2}y+3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

Умножьте -\frac{1}{2} на \frac{5}{3}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

Прибавьте 3 к -\frac{5}{6}.

$$x=\frac{13}{6}$$

Система решена.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Чтобы сделать 2x и 4x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 4 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Упростите.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

Вычтите 8x-2y=14 из 8x+4y=24 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

Прибавьте 8x к -8x. Члены 8x и -8x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$4y+2y=24-14$$

Прибавьте 4y к 2y.

$$6y=24-14$$

Прибавьте 24 к -14.

$$6y=10$$

Разделите обе части на 6.

$$y=\frac{5}{3}$$

Подставьте \frac{5}{3} вместо y в 4x-y=7. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

Прибавьте \frac{5}{3} к обеим частям уравнения.

$$4x=\frac{26}{3}$$

Разделите обе части на 4.

$$x=\frac{13}{6}$$

Система решена.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$