Решить {l}{2x+y=3}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x+y=3$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$2x=-y+3$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Подставьте \frac{-y+3}{2} вместо x в другом уравнении x-y=1.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=1$$

Прибавьте -\frac{y}{2} к -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Разделите обе стороны уравнения на -\frac{3}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=\frac{1}{3}$$

Подставьте \frac{1}{3} вместо y в x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Умножьте -\frac{1}{2} на \frac{1}{3}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к -\frac{1}{6}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{4}{3}$$

Система решена.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Чтобы сделать 2x и x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$2x+y=3,2x+2\left(-1\right)y=2$$

Упростите.

$$2x+y=3,2x-2y=2$$

Вычтите 2x-2y=2 из 2x+y=3 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$2x-2x+y+2y=3-2$$

Прибавьте 2x к -2x. Члены 2x и -2x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$y+2y=3-2$$

Прибавьте y к 2y.

$$3y=3-2$$

Прибавьте 3 к -2.

$$3y=1$$

Разделите обе части на 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Подставьте \frac{1}{3} вместо y в x-y=1. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x-\frac{1}{3}=1$$

Прибавьте \frac{1}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{4}{3}$$

Система решена.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$