Skip to main content
$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right. $
Найдите x, y
Tick mark Image
График

Подобные задачи из результатов поиска в Интернете

Поделиться

2x+y=3,x-y=1
Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.
2x+y=3
Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.
2x=-y+3
Вычтите y из обеих частей уравнения.
x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)
Разделите обе части на 2.
x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}
Умножьте \frac{1}{2} на -y+3.
-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=1
Подставьте \frac{-y+3}{2} вместо x в другом уравнении x-y=1.
-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=1
Прибавьте -\frac{y}{2} к -y.
-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}
Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.
y=\frac{1}{3}
Разделите обе стороны уравнения на -\frac{3}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.
x=-\frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{3}\right)+\frac{3}{2}
Подставьте \frac{1}{3} вместо y в x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.
x=-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}
Умножьте -\frac{1}{2} на \frac{1}{3}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.
x=\frac{4}{3}
Прибавьте \frac{3}{2} к -\frac{1}{6}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.
x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}
Система решена.
2x+y=3,x-y=1
Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.
\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Запишите уравнения в матричном виде.
inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Перемножение матриц слева от знака равенства.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
Выполните арифметические операции.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)
Перемножьте матрицы.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)
Выполните арифметические операции.
x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}
Извлеките элементы матрицы x и y.
2x+y=3,x-y=1
Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.
2x+y=3,2x+2\left(-1\right)y=2
Чтобы сделать 2x и x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.
2x+y=3,2x-2y=2
Упростите.
2x-2x+y+2y=3-2
Вычтите 2x-2y=2 из 2x+y=3 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.
y+2y=3-2
Прибавьте 2x к -2x. Члены 2x и -2x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.
3y=3-2
Прибавьте y к 2y.
3y=1
Прибавьте 3 к -2.
y=\frac{1}{3}
Разделите обе части на 3.
x-\frac{1}{3}=1
Подставьте \frac{1}{3} вместо y в x-y=1. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.
x=\frac{4}{3}
Прибавьте \frac{1}{3} к обеим частям уравнения.
x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}
Система решена.