Решить {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x+4y=2060$$

Вычтите 4y из обеих частей уравнения.

$$2x=-4y+2060$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Подставьте -2y+1030 вместо x в другом уравнении 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Умножьте 5 на -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Прибавьте -10y к 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Вычтите 5150 из обеих частей уравнения.

$$-3y=-3510$$

Разделите обе части на -3.

$$y=1170$$

Подставьте 1170 вместо y в x=-2y+1030. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Умножьте -2 на 1170.

$$x=-2340+1030$$

Прибавьте 1030 к -2340.

$$x=-1310$$

Система решена.

$$x=-1310,y=1170$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-1310,y=1170$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Чтобы сделать 2x и 5x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 5 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Упростите.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Вычтите 10x+14y=3280 из 10x+20y=10300 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Прибавьте 10x к -10x. Члены 10x и -10x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$20y-14y=10300-3280$$

Прибавьте 20y к -14y.

$$6y=10300-3280$$

Прибавьте 10300 к -3280.

$$6y=7020$$

Разделите обе части на 6.

$$y=1170$$

Подставьте 1170 вместо y в 5x+7y=1640. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Умножьте 7 на 1170.

$$5x+8190=1640$$

Вычтите 8190 из обеих частей уравнения.

$$5x=-6550$$

Разделите обе части на 5.

$$x=-1310$$

Система решена.

$$x=-1310,y=1170$$