Решить {l}{2x+14y=-28}{-4x-14y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 14 y = - 28 } \\ { - 4 x - 14 y = 28 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x+14y=-28$$

Вычтите 14y из обеих частей уравнения.

$$2x=-14y-28$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-14y-28\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -14y-28.

$$x=-7y-14$$

Подставьте -7y-14 вместо x в другом уравнении -4x-14y=28.

$$-4\left(-7y-14\right)-14y=28$$

Умножьте -4 на -7y-14.

$$28y+56-14y=28$$

Прибавьте 28y к -14y.

$$14y+56=28$$

Вычтите 56 из обеих частей уравнения.

$$14y=-28$$

Разделите обе части на 14.

$$y=-2$$

Подставьте -2 вместо y в x=-7y-14. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-7\left(-2\right)-14$$

Умножьте -7 на -2.

$$x=14-14$$

Прибавьте -14 к 14.

$$x=0$$

Система решена.

$$x=0,y=-2$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-28\right)-\frac{1}{2}\times 28\\\frac{1}{7}\left(-28\right)+\frac{1}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=0,y=-2$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

Чтобы сделать 2x и -4x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -4 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$-4\times 2x-4\times 14y=-4\left(-28\right),2\left(-4\right)x+2\left(-14\right)y=2\times 28$$

Упростите.

$$-8x-56y=112,-8x-28y=56$$

Вычтите -8x-28y=56 из -8x-56y=112 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-8x+8x-56y+28y=112-56$$

Прибавьте -8x к 8x. Члены -8x и 8x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-56y+28y=112-56$$

Прибавьте -56y к 28y.

$$-28y=112-56$$

Прибавьте 112 к -56.

$$-28y=56$$

Разделите обе части на -28.

$$y=-2$$

Подставьте -2 вместо y в -4x-14y=28. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-4x-14\left(-2\right)=28$$

Умножьте -14 на -2.

$$-4x+28=28$$

Вычтите 28 из обеих частей уравнения.

$$-4x=0$$

Разделите обе части на -4.

$$x=0$$

Система решена.

$$x=0,y=-2$$