Решить {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Найдите m, n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Выберите один из уравнений и решите его для m, изолируя m в левой части знака равенства.

$$2m+3n=1$$

Вычтите 3n из обеих частей уравнения.

$$2m=-3n+1$$

Разделите обе части на 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Подставьте \frac{-3n+1}{2} вместо m в другом уравнении \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Умножьте \frac{5}{3} на \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Прибавьте -\frac{5n}{2} к -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Вычтите \frac{5}{6} из обеих частей уравнения.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Разделите обе стороны уравнения на -\frac{9}{2}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Подставьте -\frac{1}{27} вместо n в m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для m.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Умножьте -\frac{3}{2} на -\frac{1}{27}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к \frac{1}{18}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$m=\frac{5}{9}$$

Система решена.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы m и n.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Чтобы сделать 2m и \frac{5m}{3} равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на \frac{5}{3} и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Упростите.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Вычтите \frac{10}{3}m-4n=2 из \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Прибавьте \frac{10m}{3} к -\frac{10m}{3}. Члены \frac{10m}{3} и -\frac{10m}{3} сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Прибавьте 5n к 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

Прибавьте \frac{5}{3} к -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Разделите обе части на 9.

$$n=-\frac{1}{27}$$

Подставьте -\frac{1}{27} вместо n в \frac{5}{3}m-2n=1. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для m.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

Умножьте -2 на -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Вычтите \frac{2}{27} из обеих частей уравнения.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{5}{3}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$m=\frac{5}{9}$$

Система решена.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$