Решить {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y (комплексное решение)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2ax+by=14$$

Вычтите by из обеих частей уравнения.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Разделите обе части на 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Умножьте \frac{1}{2a} на -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Подставьте \frac{-by+14}{2a} вместо x в другом уравнении -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Умножьте -2 на \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Прибавьте \frac{by}{a} к 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Прибавьте \frac{14}{a} к обеим частям уравнения.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Разделите обе части на 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Подставьте \frac{14-19a}{9a+b} вместо y в x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Умножьте -\frac{b}{2a} на \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Прибавьте \frac{7}{a} к -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Система решена.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Чтобы сделать 2ax и -2x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -2 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Упростите.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Вычтите \left(-4a\right)x+18ay=-38a из \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Прибавьте -4ax к 4ax. Члены -4ax и 4ax сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Прибавьте -2by к -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Прибавьте -28 к 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Разделите обе части на -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Подставьте -\frac{-14+19a}{b+9a} вместо y в -2x+9y=-19. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Умножьте 9 на -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Прибавьте \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} к обеим частям уравнения.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Разделите обе части на -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Система решена.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Найдите x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2ax+by=14$$

Вычтите by из обеих частей уравнения.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Разделите обе части на 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Умножьте \frac{1}{2a} на -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Подставьте \frac{-by+14}{2a} вместо x в другом уравнении -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Умножьте -2 на \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Прибавьте \frac{by}{a} к 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Прибавьте \frac{14}{a} к обеим частям уравнения.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Разделите обе части на 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Подставьте \frac{14-19a}{9a+b} вместо y в x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Умножьте -\frac{b}{2a} на \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Прибавьте \frac{7}{a} к -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Система решена.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Чтобы сделать 2ax и -2x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -2 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Упростите.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Вычтите \left(-4a\right)x+18ay=-38a из \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Прибавьте -4ax к 4ax. Члены -4ax и 4ax сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Прибавьте -2by к -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Прибавьте -28 к 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Разделите обе части на -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Подставьте -\frac{-14+19a}{b+9a} вместо y в -2x+9y=-19. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Умножьте 9 на -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Прибавьте \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} к обеим частям уравнения.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Разделите обе части на -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Система решена.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$