Решить {c}{x+y=5}{-3x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 5 } \\ { - 3 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x+y=5$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x=-y+5$$

Подставьте -y+5 вместо x в другом уравнении -3x+y=-3.

$$-3\left(-y+5\right)+y=-3$$

Умножьте -3 на -y+5.

$$3y-15+y=-3$$

Прибавьте 3y к y.

$$4y-15=-3$$

Прибавьте 15 к обеим частям уравнения.

$$4y=12$$

Разделите обе части на 4.

$$y=3$$

Подставьте 3 вместо y в x=-y+5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-3+5$$

Прибавьте 5 к -3.

$$x=2$$

Система решена.

$$x=2,y=3$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=2,y=3$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Вычтите -3x+y=-3 из x+y=5 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$x+3x+y-y=5+3$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$x+3x=5+3$$

Прибавьте x к 3x.

$$4x=5+3$$

Прибавьте 5 к 3.

$$4x=8$$

Разделите обе части на 4.

$$x=2$$

Подставьте 2 вместо x в -3x+y=-3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$-3\times 2+y=-3$$

Умножьте -3 на 2.

$$-6+y=-3$$

Прибавьте 6 к обеим частям уравнения.

$$y=3$$

Система решена.

$$x=2,y=3$$