Решить {c}{2x-y=4}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = 4 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$2x-y=4$$

Прибавьте y к обеим частям уравнения.

$$2x=y+4$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Подставьте \frac{y}{2}+2 вместо x в другом уравнении 4x+3y=3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=3$$

Умножьте 4 на \frac{y}{2}+2.

$$2y+8+3y=3$$

Прибавьте 2y к 3y.

$$5y+8=3$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$5y=-5$$

Разделите обе части на 5.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в x=\frac{1}{2}y+2. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Умножьте \frac{1}{2} на -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Прибавьте 2 к -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Система решена.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 3\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Чтобы сделать 2x и 4x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 4 и все члены в обеих частях второго уравнения на 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4,2\times 4x+2\times 3y=2\times 3$$

Упростите.

$$8x-4y=16,8x+6y=6$$

Вычтите 8x+6y=6 из 8x-4y=16 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$8x-8x-4y-6y=16-6$$

Прибавьте 8x к -8x. Члены 8x и -8x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-4y-6y=16-6$$

Прибавьте -4y к -6y.

$$-10y=16-6$$

Прибавьте 16 к -6.

$$-10y=10$$

Разделите обе части на -10.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в 4x+3y=3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$4x+3\left(-1\right)=3$$

Умножьте 3 на -1.

$$4x-3=3$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$4x=6$$

Разделите обе части на 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Система решена.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$