Решить ∫ (from 5 to 10) of x+sin(x)+12 wrt x

$$\int_{ 5 }^{ 10 } x+ \sin ( x ) +12 d x$$

Вычислить

$$\frac{2\cos(5)+195-2\cos(10)}{2}\approx 98,622733715$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int x+\sin(x)+12\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sin(x)\mathrm{d}x+\int 12\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sin(x)\mathrm{d}x+\int 12\mathrm{d}x$$

Используйте \int \sin(x)\mathrm{d}x=-\cos(x) из таблицы стандартных интегралов для получения результата.

$$\frac{x^{2}}{2}-\cos(x)+\int 12\mathrm{d}x$$

Найдите интеграл 12 с помощью таблицы правил "Общие интегралы" \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{2}}{2}-\cos(x)+12x$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{10^{2}}{2}-\cos(10)+10\times 12-\left(\frac{5^{2}}{2}-\cos(5)+5\times 12\right)$$

Упростите.

$$\frac{1}{2}\left(-2\cos(10)+195+2\cos(5)\right)$$