Решить ∫ (from 1 to 4) of left(-x+4/xright) wrt x

$$\int_{ 1 }^{ 4 } \left( -x+ \frac{ 4 }{ x } \right) d x$$

Вычислить

$$8\ln(2)-\frac{15}{2}\approx -1,954822556$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int -x+\frac{4}{x}\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int -x\mathrm{d}x+\int \frac{4}{x}\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$-\int x\mathrm{d}x+4\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Умножьте -1 на \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{2}}{2}+4\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x$$

Используйте \int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln(|x|) из таблицы стандартных интегралов для получения результата.

$$-\frac{x^{2}}{2}+4\ln(|x|)$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$-\frac{4^{2}}{2}+4\ln(|4|)-\left(-\frac{1^{2}}{2}+4\ln(|1|)\right)$$

Упростите.

$$-\frac{15}{2}+8\ln(2)$$