Решить ∫ (from 1 to 2) of 5left(5x-3right)^2 wrt x

$$\int_{ 1 }^{ 2 } 5 { \left(5x-3 \right) }^{ 2 } d x$$

Вычислить

$$\frac{335}{3}\approx 111,666666667$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5x-3\right)^{2}.

$$\int _{1}^{2}5\left(25x^{2}-30x+9\right)\mathrm{d}x$$

Чтобы умножить 5 на 25x^{2}-30x+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$\int _{1}^{2}125x^{2}-150x+45\mathrm{d}x$$

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int 125x^{2}-150x+45\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int 125x^{2}\mathrm{d}x+\int -150x\mathrm{d}x+\int 45\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$125\int x^{2}\mathrm{d}x-150\int x\mathrm{d}x+\int 45\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Умножьте 125 на \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{125x^{3}}{3}-150\int x\mathrm{d}x+\int 45\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Умножьте -150 на \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{125x^{3}}{3}-75x^{2}+\int 45\mathrm{d}x$$

Найдите интеграл 45 с помощью таблицы правил "Общие интегралы" \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{125x^{3}}{3}-75x^{2}+45x$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{125}{3}\times 2^{3}-75\times 2^{2}+45\times 2-\left(\frac{125}{3}\times 1^{3}-75\times 1^{2}+45\times 1\right)$$

Упростите.

$$\frac{335}{3}$$