Решить ∫ (from 0 to 1) of (3x^3-x^2+2x-4) wrt x

$$\int_{ 0 }^{ 1 } (3 { x }^{ 3 } - { x }^{ 2 } +2x-4) d x$$

Вычислить

$$-\frac{31}{12}\approx -2,583333333$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int 3x^{3}-x^{2}+2x-4\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int 3x^{3}\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$3\int x^{3}\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Умножьте 3 на \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{3x^{4}}{4}-\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Умножьте -1 на \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Умножьте 2 на \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\int -4\mathrm{d}x$$

Найдите интеграл -4 с помощью таблицы правил "Общие интегралы" \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}-4x$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{3}{4}\times 1^{4}-\frac{1^{3}}{3}+1^{2}-4-\left(\frac{3}{4}\times 0^{4}-\frac{0^{3}}{3}+0^{2}-4\times 0\right)$$

Упростите.

$$-\frac{31}{12}$$