Решить ∫ x(2+x^2)^2 wrt x

$$\int x ( 2 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

Вычислить

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2+x^{2}\right)^{2}.

$$\int x\left(4+4x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$\int x\left(4+4x^{2}+x^{4}\right)\mathrm{d}x$$

Чтобы умножить x на 4+4x^{2}+x^{4}, используйте свойство дистрибутивности.

$$\int 4x+4x^{3}+x^{5}\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 4x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$4\int x\mathrm{d}x+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Умножьте 4 на \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{2}+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Умножьте 4 на \frac{x^{4}}{4}.

$$2x^{2}+x^{4}+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{5}\mathrm{d}x \frac{x^{6}}{6}.

$$2x^{2}+x^{4}+\frac{x^{6}}{6}$$

Если F\left(x\right) является антипроизводной f\left(x\right), то набор всех его производных f\left(x\right) предоставлен F\left(x\right)+C. Следовательно, добавьте константу C\in \mathrm{R} интеграции к результату.

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

Дифференцировать по x

$$x\left(x^{2}+2\right)^{2}$$