Решить ∫ x^2(2x^3+4)^2 wrt x

$$\int x ^ { 2 } ( 2 x ^ { 3 } + 4 ) ^ { 2 } d x$$

Вычислить

$$\frac{4x^{9}}{9}+\frac{8x^{6}}{3}+\frac{16x^{3}}{3}+С$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x^{3}+4\right)^{2}.

$$\int x^{2}\left(4\left(x^{3}\right)^{2}+16x^{3}+16\right)\mathrm{d}x$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 3 и 2, чтобы получить 6.

$$\int x^{2}\left(4x^{6}+16x^{3}+16\right)\mathrm{d}x$$

Чтобы умножить x^{2} на 4x^{6}+16x^{3}+16, используйте свойство дистрибутивности.

$$\int 4x^{8}+16x^{5}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int 4x^{8}\mathrm{d}x+\int 16x^{5}\mathrm{d}x+\int 16x^{2}\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$4\int x^{8}\mathrm{d}x+16\int x^{5}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{8}\mathrm{d}x \frac{x^{9}}{9}. Умножьте 4 на \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{4x^{9}}{9}+16\int x^{5}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{5}\mathrm{d}x \frac{x^{6}}{6}. Умножьте 16 на \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{4x^{9}}{9}+\frac{8x^{6}}{3}+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Умножьте 16 на \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{9}}{9}+\frac{8x^{6}}{3}+\frac{16x^{3}}{3}$$

Упростите.

$$\frac{16x^{3}}{3}+\frac{8x^{6}}{3}+\frac{4x^{9}}{9}$$

Если F\left(x\right) является антипроизводной f\left(x\right), то набор всех его производных f\left(x\right) предоставлен F\left(x\right)+C. Следовательно, добавьте константу C\in \mathrm{R} интеграции к результату.

$$\frac{16x^{3}}{3}+\frac{8x^{6}}{3}+\frac{4x^{9}}{9}+С$$

Дифференцировать по x

$$4\left(x\left(x^{3}+2\right)\right)^{2}$$