Решить ∫ (from 3 to 4) of -x^2+7x-12

$$\int _ { 3 } ^ { 4 } - x ^ { 2 } + 7 x - 12$$

Вычислить

$$\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int -x^{2}+7x-12\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 7x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+7\int x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Умножьте -1 на \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+7\int x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Умножьте 7 на \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}+\int -12\mathrm{d}x$$

Найдите интеграл -12 с помощью таблицы правил "Общие интегралы" \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}-12x$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$-\frac{4^{3}}{3}+\frac{7}{2}\times 4^{2}-12\times 4-\left(-\frac{3^{3}}{3}+\frac{7}{2}\times 3^{2}-12\times 3\right)$$

Упростите.

$$\frac{1}{6}$$