Решить ∫ (from 2 to 5) of 5/sqrt{x wrt x

$$\int _ { 2 } ^ { 5 } \frac { 5 } { \sqrt { x } } d x$$

Вычислить

$$10\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\approx 8,218544151$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int \frac{5}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

Разложите константу с помощью \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$5\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

Перепишите \frac{1}{\sqrt{x}} как x^{-\frac{1}{2}}. Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Упростите и преобразуйте из экспоненциальной в радикальную форму.

$$10\sqrt{x}$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$10\times 5^{\frac{1}{2}}-10\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Упростите.

$$10\sqrt{5}-10\sqrt{2}$$