Решить ∫ (from 2 to 3) of (x-2)^2 wrt x

$$\int _ { 2 } ^ { 3 } ( x - 2 ) ^ { 2 } d x$$

Вычислить

$$\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-2\right)^{2}.

$$\int _{2}^{3}x^{2}-4x+4\mathrm{d}x$$

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int x^{2}-4x+4\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -4x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-4\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Умножьте -4 на \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+\int 4\mathrm{d}x$$

Найдите интеграл 4 с помощью таблицы правил "Общие интегралы" \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+4x$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{3^{3}}{3}-2\times 3^{2}+4\times 3-\left(\frac{2^{3}}{3}-2\times 2^{2}+4\times 2\right)$$

Упростите.

$$\frac{1}{3}$$