Решить ∫ (from 1 to 4) of 5/sqrt[4]{x wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 4 } \frac { 5 } { \sqrt[ 4 ] { x } } d x$$

Вычислить

$$\frac{40\sqrt{2}-20}{3}\approx 12,189514165$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int \frac{5}{\sqrt[4]{x}}\mathrm{d}x$$

Разложите константу с помощью \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$5\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\mathrm{d}x$$

Перепишите \frac{1}{\sqrt[4]{x}} как x^{-\frac{1}{4}}. Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{-\frac{1}{4}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}}. Упростите.

$$\frac{20x^{\frac{3}{4}}}{3}$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{20}{3}\times 4^{\frac{3}{4}}-\frac{20}{3}\times 1^{\frac{3}{4}}$$

Упростите.

$$\frac{40\sqrt{2}-20}{3}$$