Решить ∫ (from 1 to 2) of x^2+2x+sqrt{x wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } x ^ { 2 } + 2 x + \sqrt { x } d x$$

Вычислить

$$\frac{2\left(2\sqrt{2}+7\right)}{3}\approx 6,55228475$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int x^{2}+2x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Умножьте 2 на \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Перепишите \sqrt{x} как x^{\frac{1}{2}}. Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Упростите.

$$\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{2^{3}}{3}+2^{2}+\frac{2}{3}\times 2^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{1^{3}}{3}+1^{2}+\frac{2}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}\right)$$

Упростите.

$$\frac{14+4\sqrt{2}}{3}$$