Решить ∫ (from 0 to 3) of (x^3-6x^2+9x) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } ( x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } + 9 x ) d x$$

Вычислить

$$\frac{27}{4}=6,75$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int x^{3}-6x^{2}+9x\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int -6x^{2}\mathrm{d}x+\int 9x\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x-6\int x^{2}\mathrm{d}x+9\int x\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}-6\int x^{2}\mathrm{d}x+9\int x\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Умножьте -6 на \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}-2x^{3}+9\int x\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Умножьте 9 на \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}-2x^{3}+\frac{9x^{2}}{2}$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{3^{4}}{4}-2\times 3^{3}+\frac{9}{2}\times 3^{2}-\left(\frac{0^{4}}{4}-2\times 0^{3}+\frac{9}{2}\times 0^{2}\right)$$

Упростите.

$$\frac{27}{4}$$