Решить ∫ (from 0 to 3) of (9-x^2)^2

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } ( 9 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 }$$

Вычислить

$$\frac{648}{5}=129,6$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(9-x^{2}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{3}81-18x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$\int _{0}^{3}81-18x^{2}+x^{4}\mathrm{d}x$$

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int 81-18x^{2}+x^{4}\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int 81\mathrm{d}x+\int -18x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$\int 81\mathrm{d}x-18\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Найдите интеграл 81 с помощью таблицы правил "Общие интегралы" \int a\mathrm{d}x=ax.

$$81x-18\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Умножьте -18 на \frac{x^{3}}{3}.

$$81x-6x^{3}+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{4}\mathrm{d}x \frac{x^{5}}{5}.

$$81x-6x^{3}+\frac{x^{5}}{5}$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{3^{5}}{5}-6\times 3^{3}+81\times 3-\left(\frac{0^{5}}{5}-6\times 0^{3}+81\times 0\right)$$

Упростите.

$$\frac{648}{5}$$