Решить ∫ (from 0 to 2 pi) of (t-sint)dt

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - \sin t ) d t$$

Вычислить

$$2\pi ^{2}\approx 19,739208802$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int t-\sin(t)\mathrm{d}t$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int t\mathrm{d}t+\int -\sin(t)\mathrm{d}t$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$\int t\mathrm{d}t-\int \sin(t)\mathrm{d}t$$

Так как \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int t\mathrm{d}t \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{2}}{2}-\int \sin(t)\mathrm{d}t$$

Используйте \int \sin(t)\mathrm{d}t=-\cos(t) из таблицы стандартных интегралов для получения результата. Умножьте -1 на -\cos(t).

$$\frac{t^{2}}{2}+\cos(t)$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\pi \right)^{2}+\cos(2\pi )-\left(\frac{0^{2}}{2}+\cos(0)\right)$$

Упростите.

$$2\pi ^{2}$$