Решить ∫ (from 0 to 2 pi) of operatorname{arctanh}(x) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \operatorname { arctanh } ( x ) d x$$

Вычислить

$$2\pi ^{2}\arctan(h)$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int \arctan(h)x\mathrm{d}x$$

Разложите константу с помощью \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$\arctan(h)\int x\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$\arctan(h)\times \frac{x^{2}}{2}$$

Упростите.

$$\frac{\arctan(h)x^{2}}{2}$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{1}{2}\arctan(h)\times \left(2\pi \right)^{2}-\frac{1}{2}\arctan(h)\times 0^{2}$$

Упростите.

$$2\arctan(h)\pi ^{2}$$

Дифференцировать по h

$$\frac{2\pi ^{2}}{h^{2}+1}$$