Решить ∫ (from 0 to 2 cos θ) of r ^ 2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos \theta } r ^ { 2 } d r$$

Вычислить

$$\frac{8\left(\cos(\theta )\right)^{3}}{3}$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Так как \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int r^{2}\mathrm{d}r \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{3}}{3}$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{1}{3}\times \left(2\cos(\theta )\right)^{3}-\frac{0^{3}}{3}$$

Упростите.

$$\frac{8\left(\cos(\theta )\right)^{3}}{3}$$

Дифференцировать по θ

$$-8\sin(\theta )\left(\cos(\theta )\right)^{2}$$