Решить ∫ (from 0 to 1) of 5u^5+3u^2+udu

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } 5 u ^ { 5 } + 3 u ^ { 2 } + u d u$$

Вычислить

$$\frac{7}{3}\approx 2,333333333$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int 5u^{5}+3u^{2}+u\mathrm{d}u$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int 5u^{5}\mathrm{d}u+\int 3u^{2}\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}u$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$5\int u^{5}\mathrm{d}u+3\int u^{2}\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}u$$

Так как \int u^{k}\mathrm{d}u=\frac{u^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int u^{5}\mathrm{d}u \frac{u^{6}}{6}. Умножьте 5 на \frac{u^{6}}{6}.

$$\frac{5u^{6}}{6}+3\int u^{2}\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}u$$

Так как \int u^{k}\mathrm{d}u=\frac{u^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int u^{2}\mathrm{d}u \frac{u^{3}}{3}. Умножьте 3 на \frac{u^{3}}{3}.

$$\frac{5u^{6}}{6}+u^{3}+\int u\mathrm{d}u$$

Так как \int u^{k}\mathrm{d}u=\frac{u^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int u\mathrm{d}u \frac{u^{2}}{2}.

$$\frac{5u^{6}}{6}+u^{3}+\frac{u^{2}}{2}$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{5}{6}\times 1^{6}+1^{3}+\frac{1^{2}}{2}-\left(\frac{5}{6}\times 0^{6}+0^{3}+\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Упростите.

$$\frac{7}{3}$$