Решить ∫ (from 0 to 1) of 2^x+x^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } 2 ^ { x } + x ^ { 2 } d x$$

Вычислить

$$\frac{1}{\ln(2)}+\frac{1}{3}\approx 1,776028374$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int 2^{x}+x^{2}\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int 2^{x}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Используйте \int x^{k}\mathrm{d}k=\frac{x^{k}}{\ln(x)} из таблицы стандартных интегралов для получения результата.

$$\frac{2^{x}}{\ln(2)}+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2^{x}}{\ln(2)}+\frac{x^{3}}{3}$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$2^{1}\ln(2)^{-1}+\frac{1^{3}}{3}-\left(2^{0}\ln(2)^{-1}+\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Упростите.

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{\ln(2)}$$