Решить ∫ (from 0 to pi) of x^2+y^2

$$\int _ { 0 } ^ { \pi } x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$$

Вычислить

$$\pi y^{2}+\frac{\pi ^{3}}{3}$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int x^{2}+y^{2}\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int y^{2}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\int y^{2}\mathrm{d}x$$

Найдите интеграл y^{2} с помощью таблицы правил "Общие интегралы" \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}+y^{2}x$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{\pi ^{3}}{3}+y^{2}\pi -\left(\frac{0^{3}}{3}+y^{2}\times 0\right)$$

Упростите.

$$\frac{\pi ^{3}}{3}+\pi y^{2}$$

Дифференцировать по y

$$2\pi y$$