Решить ∫ (from 0 to pi / 3) of (1-cosθ)^2

$$\int _ { 0 } ^ { \pi / 3 } ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 }$$

Вычислить

$$\frac{\pi \left(\cos(\theta )-1\right)^{2}}{3}$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int \left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Найдите интеграл \left(1-\cos(\theta )\right)^{2} с помощью таблицы правил "Общие интегралы" \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}x$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{1}{3}\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\pi +0\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}$$

Упростите.

$$\frac{\left(\cos(\theta )-1\right)^{2}\pi }{3}$$

Дифференцировать по θ

$$-\frac{2\pi \sin(\theta )\left(\cos(\theta )-1\right)}{3}$$