Решить ∫ (from - 2 to 3) of (-x^2+x+6) wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 3 } ( - x ^ { 2 } + x + 6 ) d x$$

Вычислить

$$\frac{125}{6}\approx 20,833333333$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int -x^{2}+x+6\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int 6\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int 6\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Умножьте -1 на \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\int x\mathrm{d}x+\int 6\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+\int 6\mathrm{d}x$$

Найдите интеграл 6 с помощью таблицы правил "Общие интегралы" \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+6x$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$-\frac{3^{3}}{3}+\frac{3^{2}}{2}+6\times 3-\left(-\frac{\left(-2\right)^{3}}{3}+\frac{\left(-2\right)^{2}}{2}+6\left(-2\right)\right)$$

Упростите.

$$\frac{125}{6}$$