Решить ∫ (from - 2 to 1) of (2x-6)^3

$$\int _ { - 2 } ^ { 1 } ( 2 x - 6 ) ^ { 3 }$$

Вычислить

$$-1218$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} для разложения \left(2x-6\right)^{3}.

$$\int _{-2}^{1}8x^{3}-72x^{2}+216x-216\mathrm{d}x$$

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int 8x^{3}-72x^{2}+216x-216\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int 8x^{3}\mathrm{d}x+\int -72x^{2}\mathrm{d}x+\int 216x\mathrm{d}x+\int -216\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$8\int x^{3}\mathrm{d}x-72\int x^{2}\mathrm{d}x+216\int x\mathrm{d}x+\int -216\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Умножьте 8 на \frac{x^{4}}{4}.

$$2x^{4}-72\int x^{2}\mathrm{d}x+216\int x\mathrm{d}x+\int -216\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Умножьте -72 на \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{4}-24x^{3}+216\int x\mathrm{d}x+\int -216\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Умножьте 216 на \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{4}-24x^{3}+108x^{2}+\int -216\mathrm{d}x$$

Найдите интеграл -216 с помощью таблицы правил "Общие интегралы" \int a\mathrm{d}x=ax.

$$2x^{4}-24x^{3}+108x^{2}-216x$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$2\times 1^{4}-24\times 1^{3}+108\times 1^{2}-216-\left(2\left(-2\right)^{4}-24\left(-2\right)^{3}+108\left(-2\right)^{2}-216\left(-2\right)\right)$$

Упростите.

$$-1218$$