Решить ∫ (x-1)^{3}+(x-1)^{2}-x+x(4-x)(4+x)+(8-x-x^2)^2+x^2(17-x^2)

$$\int ( x - 1 ) ^ { 3 } + ( x - 1 ) ^ { 2 } - x + x ( 4 - x ) ( 4 + x ) + ( 8 - x - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } ( 17 - x ^ { 2 } )$$

Вычислить

$$\frac{x^{4}}{2}+64x+С$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} для разложения \left(x-1\right)^{3}.

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1+\left(x-1\right)^{2}-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1+x^{2}-2x+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Объедините -3x^{2} и x^{2}, чтобы получить -2x^{2}.

$$\int x^{3}-2x^{2}+3x-1-2x+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Объедините 3x и -2x, чтобы получить x.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-1+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Чтобы вычислить 0, сложите -1 и 1.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Чтобы умножить x на 4-x, используйте свойство дистрибутивности.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+\left(4x-x^{2}\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Чтобы умножить 4x-x^{2} на 4+x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+16x-x^{3}+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Объедините x и 16x, чтобы получить 17x.

$$\int x^{3}-2x^{2}+17x-x-x^{3}+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Объедините x^{3} и -x^{3}, чтобы получить 0.

$$\int -2x^{2}+17x-x+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Возведите 8-x-x^{2} в квадрат.

$$\int -2x^{2}+17x-x+x^{4}+2x^{3}-15x^{2}-16x+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Объедините -2x^{2} и -15x^{2}, чтобы получить -17x^{2}.

$$\int -17x^{2}+17x-x+x^{4}+2x^{3}-16x+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Объедините 17x и -16x, чтобы получить x.

$$\int -17x^{2}+x-x+x^{4}+2x^{3}+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Чтобы умножить x^{2} на 17-x^{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$\int -17x^{2}+x-x+x^{4}+2x^{3}+64+17x^{2}-x^{4}\mathrm{d}x$$

Объедините -17x^{2} и 17x^{2}, чтобы получить 0.

$$\int x-x+x^{4}+2x^{3}+64-x^{4}\mathrm{d}x$$

Объедините x^{4} и -x^{4}, чтобы получить 0.

$$\int x-x+2x^{3}+64\mathrm{d}x$$

Объедините x и -x, чтобы получить 0.

$$\int 2x^{3}+64\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Умножьте 2 на \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+\int 64\mathrm{d}x$$

Найдите интеграл 64 с помощью таблицы правил "Общие интегралы" \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}+64x$$

Если F\left(x\right) является антипроизводной f\left(x\right), то набор всех его производных f\left(x\right) предоставлен F\left(x\right)+C. Следовательно, добавьте константу C\in \mathrm{R} интеграции к результату.

$$64x+\frac{x^{4}}{2}+С$$

Дифференцировать по x

$$2\left(x^{3}+32\right)$$