Решить ∫ (8x+2x^3)(4x^6+6x^7) wrt x=?

$$\int ( 8 x + 2 x ^ { 3 } ) ( 4 x ^ { 6 } + 6 x ^ { 7 } ) d x = ?$$

Вычислить

$$\frac{12x^{11}}{11}+\frac{4x^{10}}{5}+\frac{16x^{9}}{3}+4x^{8}+С$$

Действия по решению

Чтобы умножить 8x+2x^{3} на 4x^{6}+6x^{7}, используйте свойство дистрибутивности.

$$\int 32x^{7}+48x^{8}+8x^{9}+12x^{10}\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int 32x^{7}\mathrm{d}x+\int 48x^{8}\mathrm{d}x+\int 8x^{9}\mathrm{d}x+\int 12x^{10}\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$32\int x^{7}\mathrm{d}x+48\int x^{8}\mathrm{d}x+8\int x^{9}\mathrm{d}x+12\int x^{10}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{7}\mathrm{d}x \frac{x^{8}}{8}. Умножьте 32 на \frac{x^{8}}{8}.

$$4x^{8}+48\int x^{8}\mathrm{d}x+8\int x^{9}\mathrm{d}x+12\int x^{10}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{8}\mathrm{d}x \frac{x^{9}}{9}. Умножьте 48 на \frac{x^{9}}{9}.

$$4x^{8}+\frac{16x^{9}}{3}+8\int x^{9}\mathrm{d}x+12\int x^{10}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{9}\mathrm{d}x \frac{x^{10}}{10}. Умножьте 8 на \frac{x^{10}}{10}.

$$4x^{8}+\frac{16x^{9}}{3}+\frac{4x^{10}}{5}+12\int x^{10}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{10}\mathrm{d}x \frac{x^{11}}{11}. Умножьте 12 на \frac{x^{11}}{11}.

$$4x^{8}+\frac{16x^{9}}{3}+\frac{4x^{10}}{5}+\frac{12x^{11}}{11}$$

Если F\left(x\right) является антипроизводной f\left(x\right), то набор всех его производных f\left(x\right) предоставлен F\left(x\right)+C. Следовательно, добавьте константу C\in \mathrm{R} интеграции к результату.

$$4x^{8}+\frac{16x^{9}}{3}+\frac{4x^{10}}{5}+\frac{12x^{11}}{11}+С$$

Дифференцировать по x

$$4\left(3x+2\right)\left(x^{2}+4\right)x^{7}$$