Решить ∫ (1/x^2+2/x-sinx) wrt x

$$\int ( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + \frac { 2 } { x } - \sin x ) d x$$

Вычислить

$$2\ln(|x|)+\cos(x)-\frac{1}{x}+С$$

Действия по решению

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int \frac{2}{x}\mathrm{d}x+\int -\sin(x)\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+2\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x-\int \sin(x)\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x -\frac{1}{x}.

$$-\frac{1}{x}+2\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x-\int \sin(x)\mathrm{d}x$$

Используйте \int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln(|x|) из таблицы стандартных интегралов для получения результата.

$$-\frac{1}{x}+2\ln(|x|)-\int \sin(x)\mathrm{d}x$$

Используйте \int \sin(x)\mathrm{d}x=-\cos(x) из таблицы стандартных интегралов для получения результата. Умножьте -1 на -\cos(x).

$$-\frac{1}{x}+2\ln(|x|)+\cos(x)$$

Если F\left(x\right) является антипроизводной f\left(x\right), то набор всех его производных f\left(x\right) предоставлен F\left(x\right)+C. Следовательно, добавьте константу C\in \mathrm{R} интеграции к результату.

$$-\frac{1}{x}+2\ln(|x|)+\cos(x)+С$$

Дифференцировать по x

$$-\sin(x)+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}$$