Решить d/dxleft(sin(x)right)

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

Вычислить

$$\cos(x)$$

Действия с использованием определения производной

Для функции f\left(x\right) производная представляет собой предел \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} при h стремящемся к 0 (если этот предел существует).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Используйте формулу суммы для синуса.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Вынесите \sin(x) за скобки.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Перепишите предел.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

При вычислении пределов используйте тот факт, что x — константа, так как h стремится к 0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Предел \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} равен 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

Чтобы найти предел \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, сначала умножьте числитель и знаменатель на \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Умножьте \cos(h)+1 на \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Используйте теорему Пифагора.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Перепишите предел.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Предел \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} равен 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Используйте тот факт, что функция \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} непрерывна на 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Подставьте значение 0 в выражение \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

Дифференцировать по x

$$-\sin(x)$$