Решить x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0.434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0.767591879$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-\frac{1}{2},1), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x-1\right)\left(2x+1\right), наименьшее общее кратное чисел 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Перемножьте x-1 и x-1, чтобы получить \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Перемножьте 2x+1 и 2x+1, чтобы получить \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Чтобы умножить x-1 на 2x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Чтобы умножить 2x^{2}-x-1 на 3, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Объедините 4x^{2} и 6x^{2}, чтобы получить 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Объедините 4x и -3x, чтобы получить x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Вычтите 3 из 1, чтобы получить -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Вычтите 10x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Объедините x^{2} и -10x^{2}, чтобы получить -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Объедините -2x и -x, чтобы получить -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Прибавьте 2 к обеим частям.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Чтобы вычислить 3, сложите 1 и 2.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -9 вместо a, -3 вместо b и 3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте -4 на -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте 36 на 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Прибавьте 9 к 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте 2 на -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Решите уравнение x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Разделите 3+3\sqrt{13} на -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{13} из 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Разделите 3-3\sqrt{13} на -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-\frac{1}{2},1), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x-1\right)\left(2x+1\right), наименьшее общее кратное чисел 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Перемножьте x-1 и x-1, чтобы получить \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Перемножьте 2x+1 и 2x+1, чтобы получить \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Чтобы умножить x-1 на 2x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Чтобы умножить 2x^{2}-x-1 на 3, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Объедините 4x^{2} и 6x^{2}, чтобы получить 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Объедините 4x и -3x, чтобы получить x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Вычтите 3 из 1, чтобы получить -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Вычтите 10x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Объедините x^{2} и -10x^{2}, чтобы получить -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Объедините -2x и -x, чтобы получить -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Вычтите 1 из -2, чтобы получить -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Разделите обе части на -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Деление на -9 аннулирует операцию умножения на -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Привести дробь \frac{-3}{-9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Привести дробь \frac{-3}{-9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Разделите \frac{1}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{1}{6}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{6} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к \frac{1}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Разложите x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Вычтите \frac{1}{6} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$