Решить 70/x+35+70/x-35=40

$$\frac{ 70 }{ x+35 } + \frac{ 70 }{ x-35 } =40$$

Найдите x

$$x = \frac{7 \sqrt{401} + 7}{4} \approx 36,79372269$$

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}\approx -33,29372269$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-35,35), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x-35\right)\left(x+35\right), наименьшее общее кратное чисел x+35,x-35.

$$\left(x-35\right)\times 70+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Чтобы умножить x-35 на 70, используйте свойство дистрибутивности.

$$70x-2450+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Чтобы умножить x+35 на 70, используйте свойство дистрибутивности.

$$70x-2450+70x+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Объедините 70x и 70x, чтобы получить 140x.

$$140x-2450+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Чтобы вычислить 0, сложите -2450 и 2450.

$$140x=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Чтобы умножить 40 на x-35, используйте свойство дистрибутивности.

$$140x=\left(40x-1400\right)\left(x+35\right)$$

Чтобы умножить 40x-1400 на x+35, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$140x=40x^{2}-49000$$

Вычтите 40x^{2} из обеих частей уравнения.

$$140x-40x^{2}=-49000$$

Прибавьте 49000 к обеим частям.

$$140x-40x^{2}+49000=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-40x^{2}+140x+49000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -40 вместо a, 140 вместо b и 49000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-140±\sqrt{140^{2}-4\left(-40\right)\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Возведите 140 в квадрат.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-4\left(-40\right)\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Умножьте -4 на -40.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+160\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Умножьте 160 на 49000.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+7840000}}{2\left(-40\right)}$$

Прибавьте 19600 к 7840000.

$$x=\frac{-140±\sqrt{7859600}}{2\left(-40\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 7859600.

$$x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{2\left(-40\right)}$$

Умножьте 2 на -40.

$$x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}$$

Решите уравнение x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -140 к 140\sqrt{401}.

$$x=\frac{140\sqrt{401}-140}{-80}$$

Разделите -140+140\sqrt{401} на -80.

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80} при условии, что ± — минус. Вычтите 140\sqrt{401} из -140.

$$x=\frac{-140\sqrt{401}-140}{-80}$$

Разделите -140-140\sqrt{401} на -80.

$$x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4} x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-35,35), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x-35\right)\left(x+35\right), наименьшее общее кратное чисел x+35,x-35.

$$\left(x-35\right)\times 70+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Чтобы умножить x-35 на 70, используйте свойство дистрибутивности.

$$70x-2450+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Чтобы умножить x+35 на 70, используйте свойство дистрибутивности.

$$70x-2450+70x+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Объедините 70x и 70x, чтобы получить 140x.

$$140x-2450+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Чтобы вычислить 0, сложите -2450 и 2450.

$$140x=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Чтобы умножить 40 на x-35, используйте свойство дистрибутивности.

$$140x=\left(40x-1400\right)\left(x+35\right)$$

Чтобы умножить 40x-1400 на x+35, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$140x=40x^{2}-49000$$

Вычтите 40x^{2} из обеих частей уравнения.

$$140x-40x^{2}=-49000$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-40x^{2}+140x=-49000$$

Разделите обе части на -40.

$$\frac{-40x^{2}+140x}{-40}=-\frac{49000}{-40}$$

Деление на -40 аннулирует операцию умножения на -40.

$$x^{2}+\frac{140}{-40}x=-\frac{49000}{-40}$$

Привести дробь \frac{140}{-40} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 20.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{49000}{-40}$$

Разделите -49000 на -40.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=1225$$

Деление -\frac{7}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=1225+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=1225+\frac{49}{16}$$

Прибавьте 1225 к \frac{49}{16}.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{19649}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{19649}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19649}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{7\sqrt{401}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{7\sqrt{401}}{4}$$

Прибавьте \frac{7}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4} x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}$$