Решить 400/x+20+400/52/x+20+frac{400/53}{x}=11

$$\frac{ 400 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 2 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 3 }{ x } = 11$$

Найдите x

$$x = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7,272727273$$

$$x=60$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-20,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+20\right), наименьшее общее кратное чисел x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Разделите 400 на 5, чтобы получить 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Перемножьте 80 и 2, чтобы получить 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Объедините x\times 400 и x\times 160, чтобы получить 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Разделите 400 на 5, чтобы получить 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Перемножьте 80 и 3, чтобы получить 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Чтобы умножить x+20 на 240, используйте свойство дистрибутивности.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Объедините 560x и 240x, чтобы получить 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Чтобы умножить 11x на x+20, используйте свойство дистрибутивности.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Вычтите 11x^{2} из обеих частей уравнения.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Вычтите 220x из обеих частей уравнения.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Объедините 800x и -220x, чтобы получить 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -11x^{2}+ax+bx+4800. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=580 ab=-11\times 4800=-52800$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -52800.

$$-1,52800 -2,26400 -3,17600 -4,13200 -5,10560 -6,8800 -8,6600 -10,5280 -11,4800 -12,4400 -15,3520 -16,3300 -20,2640 -22,2400 -24,2200 -25,2112 -30,1760 -32,1650 -33,1600 -40,1320 -44,1200 -48,1100 -50,1056 -55,960 -60,880 -64,825 -66,800 -75,704 -80,660 -88,600 -96,550 -100,528 -110,480 -120,440 -132,400 -150,352 -160,330 -165,320 -176,300 -192,275 -200,264 -220,240$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+52800=52799 -2+26400=26398 -3+17600=17597 -4+13200=13196 -5+10560=10555 -6+8800=8794 -8+6600=6592 -10+5280=5270 -11+4800=4789 -12+4400=4388 -15+3520=3505 -16+3300=3284 -20+2640=2620 -22+2400=2378 -24+2200=2176 -25+2112=2087 -30+1760=1730 -32+1650=1618 -33+1600=1567 -40+1320=1280 -44+1200=1156 -48+1100=1052 -50+1056=1006 -55+960=905 -60+880=820 -64+825=761 -66+800=734 -75+704=629 -80+660=580 -88+600=512 -96+550=454 -100+528=428 -110+480=370 -120+440=320 -132+400=268 -150+352=202 -160+330=170 -165+320=155 -176+300=124 -192+275=83 -200+264=64 -220+240=20$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 580.

$$a=660 b=-80$$

Перепишите -11x^{2}+580x+4800 как \left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right).

$$\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right)$$

Разложите 11x в первом и 80 в второй группе.

$$11x\left(-x+60\right)+80\left(-x+60\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+60, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+60\right)\left(11x+80\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+60=0 и 11x+80=0у.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-20,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+20\right), наименьшее общее кратное чисел x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Разделите 400 на 5, чтобы получить 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Перемножьте 80 и 2, чтобы получить 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Объедините x\times 400 и x\times 160, чтобы получить 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Разделите 400 на 5, чтобы получить 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Перемножьте 80 и 3, чтобы получить 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Чтобы умножить x+20 на 240, используйте свойство дистрибутивности.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Объедините 560x и 240x, чтобы получить 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Чтобы умножить 11x на x+20, используйте свойство дистрибутивности.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Вычтите 11x^{2} из обеих частей уравнения.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Вычтите 220x из обеих частей уравнения.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Объедините 800x и -220x, чтобы получить 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -11 вместо a, 580 вместо b и 4800 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-580±\sqrt{580^{2}-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Возведите 580 в квадрат.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Умножьте -4 на -11.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+44\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Умножьте 44 на 4800.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+211200}}{2\left(-11\right)}$$

Прибавьте 336400 к 211200.

$$x=\frac{-580±\sqrt{547600}}{2\left(-11\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 547600.

$$x=\frac{-580±740}{2\left(-11\right)}$$

Умножьте 2 на -11.

$$x=\frac{-580±740}{-22}$$

Решите уравнение x=\frac{-580±740}{-22} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -580 к 740.

$$x=\frac{160}{-22}$$

Привести дробь \frac{160}{-22} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{80}{11}$$

Решите уравнение x=\frac{-580±740}{-22} при условии, что ± — минус. Вычтите 740 из -580.

$$x=-\frac{1320}{-22}$$

Разделите -1320 на -22.

$$x=60$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{80}{11} x=60$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-20,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+20\right), наименьшее общее кратное чисел x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Разделите 400 на 5, чтобы получить 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Перемножьте 80 и 2, чтобы получить 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Объедините x\times 400 и x\times 160, чтобы получить 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Разделите 400 на 5, чтобы получить 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Перемножьте 80 и 3, чтобы получить 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Чтобы умножить x+20 на 240, используйте свойство дистрибутивности.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Объедините 560x и 240x, чтобы получить 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Чтобы умножить 11x на x+20, используйте свойство дистрибутивности.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Вычтите 11x^{2} из обеих частей уравнения.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Вычтите 220x из обеих частей уравнения.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Объедините 800x и -220x, чтобы получить 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Вычтите 4800 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$580x-11x^{2}=-4800$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-11x^{2}+580x=-4800$$

Разделите обе части на -11.

$$\frac{-11x^{2}+580x}{-11}=-\frac{4800}{-11}$$

Деление на -11 аннулирует операцию умножения на -11.

$$x^{2}+\frac{580}{-11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Разделите 580 на -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Разделите -4800 на -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=\frac{4800}{11}$$

Деление -\frac{580}{11}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{290}{11}. Затем добавьте квадрат -\frac{290}{11} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{4800}{11}+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{290}{11} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{4800}{11}+\frac{84100}{121}$$

Прибавьте \frac{4800}{11} к \frac{84100}{121}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{136900}{121}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{136900}{121}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{136900}{121}}$$

Упростите.

$$x-\frac{290}{11}=\frac{370}{11} x-\frac{290}{11}=-\frac{370}{11}$$

Прибавьте \frac{290}{11} к обеим частям уравнения.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$