Решить 2x+1/x+4x/2x+1=5

$$\frac{ 2x+1 }{ x } + \frac{ 4x }{ 2x+1 } =5$$

Найдите x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=-1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-\frac{1}{2},0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(2x+1\right), наименьшее общее кратное чисел x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Перемножьте 2x+1 и 2x+1, чтобы получить \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Перемножьте x и x, чтобы получить x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Объедините 4x^{2} и x^{2}\times 4, чтобы получить 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Чтобы умножить 5x на 2x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Вычтите 10x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Объедините 8x^{2} и -10x^{2}, чтобы получить -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Вычтите 5x из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Объедините 4x и -5x, чтобы получить -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -2x^{2}+ax+bx+1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=1 b=-2$$

Перепишите -2x^{2}-x+1 как \left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Разложите -x в первом и -1 в второй группе.

$$-x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-1=0 и -x-1=0у.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-\frac{1}{2},0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(2x+1\right), наименьшее общее кратное чисел x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Перемножьте 2x+1 и 2x+1, чтобы получить \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Перемножьте x и x, чтобы получить x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Объедините 4x^{2} и x^{2}\times 4, чтобы получить 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Чтобы умножить 5x на 2x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Вычтите 10x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Объедините 8x^{2} и -10x^{2}, чтобы получить -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Вычтите 5x из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Объедините 4x и -5x, чтобы получить -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -2 вместо a, -1 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте -4 на -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-2\right)}$$

Прибавьте 1 к 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-2\right)}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 2 на -2.

$$x=\frac{1±3}{-4}$$

Решите уравнение x=\frac{1±3}{-4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 3.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Разделите 4 на -4.

$$x=-1$$

Решите уравнение x=\frac{1±3}{-4} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из 1.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

Привести дробь \frac{-2}{-4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=-1 x=\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-\frac{1}{2},0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(2x+1\right), наименьшее общее кратное чисел x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Перемножьте 2x+1 и 2x+1, чтобы получить \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Перемножьте x и x, чтобы получить x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Объедините 4x^{2} и x^{2}\times 4, чтобы получить 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Чтобы умножить 5x на 2x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Вычтите 10x^{2} из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Объедините 8x^{2} и -10x^{2}, чтобы получить -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Вычтите 5x из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Объедините 4x и -5x, чтобы получить -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$-2x^{2}-x=-1$$

Разделите обе части на -2.

$$\frac{-2x^{2}-x}{-2}=-\frac{1}{-2}$$

Деление на -2 аннулирует операцию умножения на -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-2}\right)x=-\frac{1}{-2}$$

Разделите -1 на -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-2}$$

Разделите -1 на -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Деление \frac{1}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к \frac{1}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Вычтите \frac{1}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$