Решить 20/x-5=60/x+5+1

$$\frac{ 20 }{ x-5 } = \frac{ 60 }{ x+5 } +1$$

Найдите x

$$x=5\sqrt{33}-20\approx 8,722813233$$

$$x=-5\sqrt{33}-20\approx -48,722813233$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-5,5), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x-5\right)\left(x+5\right), наименьшее общее кратное чисел x-5,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Чтобы умножить x+5 на 20, используйте свойство дистрибутивности.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Чтобы умножить x-5 на 60, используйте свойство дистрибутивности.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Учтите \left(x-5\right)\left(x+5\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Возведите 5 в квадрат.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

Вычтите 25 из -300, чтобы получить -325.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Вычтите 60x из обеих частей уравнения.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

Объедините 20x и -60x, чтобы получить -40x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Вычтите -325 из обеих частей уравнения.

$$-40x+100-\left(-325\right)=x^{2}$$

Число, противоположное -325, равно 325.

$$-40x+100+325=x^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$-40x+100+325-x^{2}=0$$

Чтобы вычислить 425, сложите 100 и 325.

$$-40x+425-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}-40x+425=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, -40 вместо b и 425 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите -40 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+4\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 425.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+1700}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 1600 к 1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{3300}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 3300.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Число, противоположное -40, равно 40.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 40 к 10\sqrt{33}.

$$x=\frac{10\sqrt{33}+40}{-2}$$

Разделите 40+10\sqrt{33} на -2.

$$x=-5\sqrt{33}-20$$

Решите уравнение x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 10\sqrt{33} из 40.

$$x=\frac{40-10\sqrt{33}}{-2}$$

Разделите 40-10\sqrt{33} на -2.

$$x=5\sqrt{33}-20$$

Уравнение решено.

$$x=-5\sqrt{33}-20 x=5\sqrt{33}-20$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-5,5), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на \left(x-5\right)\left(x+5\right), наименьшее общее кратное чисел x-5,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Чтобы умножить x+5 на 20, используйте свойство дистрибутивности.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Чтобы умножить x-5 на 60, используйте свойство дистрибутивности.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Учтите \left(x-5\right)\left(x+5\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Возведите 5 в квадрат.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

Вычтите 25 из -300, чтобы получить -325.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Вычтите 60x из обеих частей уравнения.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

Объедините 20x и -60x, чтобы получить -40x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$-40x+100-x^{2}=-325$$

Вычтите 100 из обеих частей уравнения.

$$-40x-x^{2}=-325-100$$

Вычтите 100 из -325, чтобы получить -425.

$$-40x-x^{2}=-425$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-40x=-425$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}-40x}{-1}=-\frac{425}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{-1}\right)x=-\frac{425}{-1}$$

Разделите -40 на -1.

$$x^{2}+40x=-\frac{425}{-1}$$

Разделите -425 на -1.

$$x^{2}+40x=425$$

Деление 40, коэффициент x термина, 2 для получения 20. Затем добавьте квадрат 20 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+40x+20^{2}=425+20^{2}$$

Возведите 20 в квадрат.

$$x^{2}+40x+400=425+400$$

Прибавьте 425 к 400.

$$x^{2}+40x+400=825$$

Коэффициент x^{2}+40x+400. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+20\right)^{2}=825$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+20\right)^{2}}=\sqrt{825}$$

Упростите.

$$x+20=5\sqrt{33} x+20=-5\sqrt{33}$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$x=5\sqrt{33}-20 x=-5\sqrt{33}-20$$