Решить frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Найдите b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Действия по решению иррациональных уравнений

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}, умножив числитель и знаменатель на 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Учтите \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Возведите 2 в квадрат. Возведите \sqrt{5} в квадрат.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Вычтите 5 из 4, чтобы получить -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Перемножьте 2+\sqrt{5} и 2+\sqrt{5}, чтобы получить \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Квадрат выражения \sqrt{5} равен 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Чтобы вычислить 9, сложите 4 и 5.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

В результате деления чего-либо на -1 получается его противоположное значение. Чтобы найти противоположное значение выражения 9+4\sqrt{5}, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}, умножив числитель и знаменатель на 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Учтите \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Возведите 2 в квадрат. Возведите \sqrt{5} в квадрат.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Вычтите 5 из 4, чтобы получить -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Перемножьте 2-\sqrt{5} и 2-\sqrt{5}, чтобы получить \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Квадрат выражения \sqrt{5} равен 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Чтобы вычислить 9, сложите 4 и 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

В результате деления чего-либо на -1 получается его противоположное значение. Чтобы найти противоположное значение выражения 9-4\sqrt{5}, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Вычтите 9 из -9, чтобы получить -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Объедините -4\sqrt{5} и 4\sqrt{5}, чтобы получить 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Вычтите a из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Найдите a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$