Решить frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Вычислить

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Действия по решению

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, умножив числитель и знаменатель на 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Учтите \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Возведите 2 в квадрат. Возведите \sqrt{3} в квадрат.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Вычтите 3 из 4, чтобы получить 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

При делении любого числа на единицу получается это же число.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Перемножьте 2+\sqrt{3} и 2+\sqrt{3}, чтобы получить \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}, умножив числитель и знаменатель на 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Учтите \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Возведите 2 в квадрат. Возведите \sqrt{3} в квадрат.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Вычтите 3 из 4, чтобы получить 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

При делении любого числа на единицу получается это же число.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Перемножьте 2-\sqrt{3} и 2-\sqrt{3}, чтобы получить \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Квадрат выражения \sqrt{3} равен 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 7, сложите 4 и 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Квадрат выражения \sqrt{3} равен 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Чтобы вычислить 7, сложите 4 и 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 7-4\sqrt{3}, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Число, противоположное -4\sqrt{3}, равно 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Вычтите 7 из 7, чтобы получить 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Объедините 4\sqrt{3} и 4\sqrt{3}, чтобы получить 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$