Решить 2/x+5/x+1

$$\frac{ 2 }{ x } + \frac{ 5 }{ x+1 }$$

Вычислить

$$\frac{7x+2}{x\left(x+1\right)}$$

Краткая последовательность решения

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел x и x+1 равно x\left(x+1\right). Умножьте \frac{2}{x} на \frac{x+1}{x+1}. Умножьте \frac{5}{x+1} на \frac{x}{x}.

$$\frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}+\frac{5x}{x\left(x+1\right)}$$

Поскольку числа \frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)} и \frac{5x}{x\left(x+1\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{2\left(x+1\right)+5x}{x\left(x+1\right)}$$

Выполните умножение в 2\left(x+1\right)+5x.

$$\frac{2x+2+5x}{x\left(x+1\right)}$$

Приведите подобные члены в 2x+2+5x.

$$\frac{7x+2}{x\left(x+1\right)}$$

Разложите x\left(x+1\right).

$$\frac{7x+2}{x^{2}+x}$$

Дифференцировать по x

$$-\frac{7x^{2}+4x+2}{\left(x\left(x+1\right)\right)^{2}}$$

Действия с использованием правила производной для частного

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел x и x+1 равно x\left(x+1\right). Умножьте \frac{2}{x} на \frac{x+1}{x+1}. Умножьте \frac{5}{x+1} на \frac{x}{x}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}+\frac{5x}{x\left(x+1\right)})$$

Поскольку числа \frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)} и \frac{5x}{x\left(x+1\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x+1\right)+5x}{x\left(x+1\right)})$$

Выполните умножение в 2\left(x+1\right)+5x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+2+5x}{x\left(x+1\right)})$$

Приведите подобные члены в 2x+2+5x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x+2}{x\left(x+1\right)})$$

Чтобы умножить x на x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x+2}{x^{2}+x})$$

Для двух любых дифференцируемых функций производная частного этих функций равна разности произведения знаменателя и производной числителя и произведения числителя и производной знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(7x^{1}+2)-\left(7x^{1}+2\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+x^{1})}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Производная многочлена равна сумме производных его членов. Производная любой константы равна 0. Производная ax^{n} равна nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}\right)\times 7x^{1-1}-\left(7x^{1}+2\right)\left(2x^{2-1}+x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Упростите.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}\right)\times 7x^{0}-\left(7x^{1}+2\right)\left(2x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Умножьте x^{2}+x^{1} на 7x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 7x^{0}+x^{1}\times 7x^{0}-\left(7x^{1}+2\right)\left(2x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Умножьте 7x^{1}+2 на 2x^{1}+x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 7x^{0}+x^{1}\times 7x^{0}-\left(7x^{1}\times 2x^{1}+7x^{1}x^{0}+2\times 2x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели.

$$\frac{7x^{2}+7x^{1}-\left(7\times 2x^{1+1}+7x^{1}+2\times 2x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Упростите.

$$\frac{7x^{2}+7x^{1}-\left(14x^{2}+7x^{1}+4x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Объедините подобные члены.

$$\frac{-7x^{2}-4x^{1}-2x^{0}}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Для любого члена t, t^{1}=t.

$$\frac{-7x^{2}-4x-2x^{0}}{\left(x^{2}+x\right)^{2}}$$

Для любого члена t, за исключением 0, t^{0}=1.

$$\frac{-7x^{2}-4x-2}{\left(x^{2}+x\right)^{2}}$$