Решить y^3-125/y^2-25*y+5/6y=y^2+5y+25/6y

$$\frac { y ^ { 3 } - 125 } { y ^ { 2 } - 25 } \cdot \frac { y + 5 } { 6 y } = \frac { y ^ { 2 } + 5 y + 25 } { 6 y }$$

Найдите y (комплексное решение)

$$y\in \mathrm{C}\setminus -5,5,0$$

Краткая последовательность решения

Переменная y не может равняться ни одному из этих значений (-5,0,5), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 6y\left(y-5\right)\left(y+5\right), наименьшее общее кратное чисел y^{2}-25,6y.

$$6y\left(y^{3}-125\right)\times \frac{y+5}{6y}=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Отобразить 6\times \frac{y+5}{6y} как одну дробь.

$$\frac{6\left(y+5\right)}{6y}y\left(y^{3}-125\right)=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Сократите 6 в числителе и знаменателе.

$$\frac{y+5}{y}y\left(y^{3}-125\right)=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Чтобы умножить \frac{y+5}{y}y на y^{3}-125, используйте свойство дистрибутивности.

$$\frac{y+5}{y}y^{4}-125\times \frac{y+5}{y}y=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Отобразить \frac{y+5}{y}y^{4} как одну дробь.

$$\frac{\left(y+5\right)y^{4}}{y}-125\times \frac{y+5}{y}y=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Отобразить -125\times \frac{y+5}{y} как одну дробь.

$$\frac{\left(y+5\right)y^{4}}{y}+\frac{-125\left(y+5\right)}{y}y=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Отобразить \frac{-125\left(y+5\right)}{y}y как одну дробь.

$$\frac{\left(y+5\right)y^{4}}{y}+\frac{-125\left(y+5\right)y}{y}=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Поскольку числа \frac{\left(y+5\right)y^{4}}{y} и \frac{-125\left(y+5\right)y}{y} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{\left(y+5\right)y^{4}-125\left(y+5\right)y}{y}=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Выполните умножение в \left(y+5\right)y^{4}-125\left(y+5\right)y.

$$\frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Чтобы умножить y^{2}-25 на y^{2}+5y+25, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$\frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}=y^{4}+5y^{3}-125y-625$$

Вычтите y^{4} из обеих частей уравнения.

$$\frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}-y^{4}=5y^{3}-125y-625$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Умножьте y^{4} на \frac{y}{y}.

$$\frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}-\frac{y^{4}y}{y}=5y^{3}-125y-625$$

Поскольку числа \frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y}{y} и \frac{y^{4}y}{y} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию вычитания с помощью числителей.

$$\frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y-y^{4}y}{y}=5y^{3}-125y-625$$

Выполните умножение в y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y-y^{4}y.

$$\frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y-y^{5}}{y}=5y^{3}-125y-625$$

Приведите подобные члены в y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y-y^{5}.

$$\frac{5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}=5y^{3}-125y-625$$

Вычтите 5y^{3} из обеих частей уравнения.

$$\frac{5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}-5y^{3}=-125y-625$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Умножьте -5y^{3} на \frac{y}{y}.

$$\frac{5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}+\frac{-5y^{3}y}{y}=-125y-625$$

Поскольку числа \frac{5y^{4}-125y^{2}-625y}{y} и \frac{-5y^{3}y}{y} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{5y^{4}-125y^{2}-625y-5y^{3}y}{y}=-125y-625$$

Выполните умножение в 5y^{4}-125y^{2}-625y-5y^{3}y.

$$\frac{5y^{4}-125y^{2}-625y-5y^{4}}{y}=-125y-625$$

Приведите подобные члены в 5y^{4}-125y^{2}-625y-5y^{4}.

$$\frac{-125y^{2}-625y}{y}=-125y-625$$

Прибавьте 125y к обеим частям.

$$\frac{-125y^{2}-625y}{y}+125y=-625$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Умножьте 125y на \frac{y}{y}.

$$\frac{-125y^{2}-625y}{y}+\frac{125yy}{y}=-625$$

Поскольку числа \frac{-125y^{2}-625y}{y} и \frac{125yy}{y} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{-125y^{2}-625y+125yy}{y}=-625$$

Выполните умножение в -125y^{2}-625y+125yy.

$$\frac{-125y^{2}-625y+125y^{2}}{y}=-625$$

Приведите подобные члены в -125y^{2}-625y+125y^{2}.

$$\frac{-625y}{y}=-625$$

Прибавьте 625 к обеим частям.

$$\frac{-625y}{y}+625=0$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Умножьте 625 на \frac{y}{y}.

$$\frac{-625y}{y}+\frac{625y}{y}=0$$

Поскольку числа \frac{-625y}{y} и \frac{625y}{y} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{-625y+625y}{y}=0$$

Приведите подобные члены в -625y+625y.

$$\frac{0}{y}=0$$

Переменная y не может равняться 0, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе части уравнения на y.

$$0=0$$

Это справедливо для любого y.

$$y\in \mathrm{C}$$

Переменная y не может равняться ни одному из этих значений (0,-5,5).

$$y\in \mathrm{C}\setminus -5,0,5$$

Найдите y

$$y\in \mathrm{R}\setminus 5,-5,0$$

Краткая последовательность решения

Переменная y не может равняться ни одному из этих значений (-5,0,5), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 6y\left(y-5\right)\left(y+5\right), наименьшее общее кратное чисел y^{2}-25,6y.

$$6y\left(y^{3}-125\right)\times \frac{y+5}{6y}=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Отобразить 6\times \frac{y+5}{6y} как одну дробь.

$$\frac{6\left(y+5\right)}{6y}y\left(y^{3}-125\right)=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Сократите 6 в числителе и знаменателе.

$$\frac{y+5}{y}y\left(y^{3}-125\right)=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Чтобы умножить \frac{y+5}{y}y на y^{3}-125, используйте свойство дистрибутивности.

$$\frac{y+5}{y}y^{4}-125\times \frac{y+5}{y}y=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Отобразить \frac{y+5}{y}y^{4} как одну дробь.

$$\frac{\left(y+5\right)y^{4}}{y}-125\times \frac{y+5}{y}y=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Отобразить -125\times \frac{y+5}{y} как одну дробь.

$$\frac{\left(y+5\right)y^{4}}{y}+\frac{-125\left(y+5\right)}{y}y=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Отобразить \frac{-125\left(y+5\right)}{y}y как одну дробь.

$$\frac{\left(y+5\right)y^{4}}{y}+\frac{-125\left(y+5\right)y}{y}=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Поскольку числа \frac{\left(y+5\right)y^{4}}{y} и \frac{-125\left(y+5\right)y}{y} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{\left(y+5\right)y^{4}-125\left(y+5\right)y}{y}=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Выполните умножение в \left(y+5\right)y^{4}-125\left(y+5\right)y.

$$\frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}=\left(y^{2}-25\right)\left(y^{2}+5y+25\right)$$

Чтобы умножить y^{2}-25 на y^{2}+5y+25, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$\frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}=y^{4}+5y^{3}-125y-625$$

Вычтите y^{4} из обеих частей уравнения.

$$\frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}-y^{4}=5y^{3}-125y-625$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Умножьте y^{4} на \frac{y}{y}.

$$\frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}-\frac{y^{4}y}{y}=5y^{3}-125y-625$$

Поскольку числа \frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y}{y} и \frac{y^{4}y}{y} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию вычитания с помощью числителей.

$$\frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y-y^{4}y}{y}=5y^{3}-125y-625$$

Выполните умножение в y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y-y^{4}y.

$$\frac{y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y-y^{5}}{y}=5y^{3}-125y-625$$

Приведите подобные члены в y^{5}+5y^{4}-125y^{2}-625y-y^{5}.

$$\frac{5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}=5y^{3}-125y-625$$

Вычтите 5y^{3} из обеих частей уравнения.

$$\frac{5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}-5y^{3}=-125y-625$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Умножьте -5y^{3} на \frac{y}{y}.

$$\frac{5y^{4}-125y^{2}-625y}{y}+\frac{-5y^{3}y}{y}=-125y-625$$

Поскольку числа \frac{5y^{4}-125y^{2}-625y}{y} и \frac{-5y^{3}y}{y} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{5y^{4}-125y^{2}-625y-5y^{3}y}{y}=-125y-625$$

Выполните умножение в 5y^{4}-125y^{2}-625y-5y^{3}y.

$$\frac{5y^{4}-125y^{2}-625y-5y^{4}}{y}=-125y-625$$

Приведите подобные члены в 5y^{4}-125y^{2}-625y-5y^{4}.

$$\frac{-125y^{2}-625y}{y}=-125y-625$$

Прибавьте 125y к обеим частям.

$$\frac{-125y^{2}-625y}{y}+125y=-625$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Умножьте 125y на \frac{y}{y}.

$$\frac{-125y^{2}-625y}{y}+\frac{125yy}{y}=-625$$

Поскольку числа \frac{-125y^{2}-625y}{y} и \frac{125yy}{y} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{-125y^{2}-625y+125yy}{y}=-625$$

Выполните умножение в -125y^{2}-625y+125yy.

$$\frac{-125y^{2}-625y+125y^{2}}{y}=-625$$

Приведите подобные члены в -125y^{2}-625y+125y^{2}.

$$\frac{-625y}{y}=-625$$

Прибавьте 625 к обеим частям.

$$\frac{-625y}{y}+625=0$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Умножьте 625 на \frac{y}{y}.

$$\frac{-625y}{y}+\frac{625y}{y}=0$$

Поскольку числа \frac{-625y}{y} и \frac{625y}{y} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$\frac{-625y+625y}{y}=0$$

Приведите подобные члены в -625y+625y.

$$\frac{0}{y}=0$$

Переменная y не может равняться 0, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе части уравнения на y.

$$0=0$$

Это справедливо для любого y.

$$y\in \mathrm{R}$$

Переменная y не может равняться ни одному из этих значений (0,-5,5).

$$y\in \mathrm{R}\setminus -5,0,5$$