Решить x/x^2-2x-5/3x^2-12=2/x

$$\frac { x } { x ^ { 2 } - 2 x } - \frac { 5 } { 3 x ^ { 2 } - 12 } = \frac { 2 } { x }$$

Найдите x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-2,0,2), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), наименьшее общее кратное чисел x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Чтобы умножить 3x+6 на x, используйте свойство дистрибутивности.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Чтобы умножить 3x^{2}-12 на 2, используйте свойство дистрибутивности.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Вычтите 6x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Объедините 3x^{2} и -6x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Прибавьте 24 к обеим частям.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Перемножьте -1 и 5, чтобы получить -5.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Объедините 6x и -5x, чтобы получить x.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -3x^{2}+ax+bx+24. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=1 ab=-3\times 24=-72$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -72 продукта.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=9 b=-8$$

Перепишите -3x^{2}+x+24 как \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right)$$

Вынесите за скобки 3x в первой и 8 во второй группе.

$$3x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+3=0 и 3x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-2,0,2), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), наименьшее общее кратное чисел x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Чтобы умножить 3x+6 на x, используйте свойство дистрибутивности.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Чтобы умножить 3x^{2}-12 на 2, используйте свойство дистрибутивности.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Вычтите 6x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Объедините 3x^{2} и -6x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Прибавьте 24 к обеим частям.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Перемножьте -1 и 5, чтобы получить -5.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Объедините 6x и -5x, чтобы получить x.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -3 вместо a, 1 вместо b и 24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте -4 на -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 12 на 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\left(-3\right)}$$

Прибавьте 1 к 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\left(-3\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 2 на -3.

$$x=\frac{-1±17}{-6}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±17}{-6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 17.

$$x=\frac{16}{-6}$$

Привести дробь \frac{16}{-6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±17}{-6} при условии, что ± — минус. Вычтите 17 из -1.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Разделите -18 на -6.

$$x=3$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{8}{3} x=3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-2,0,2), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), наименьшее общее кратное чисел x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Чтобы умножить 3x+6 на x, используйте свойство дистрибутивности.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Чтобы умножить 3x^{2}-12 на 2, используйте свойство дистрибутивности.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Вычтите 6x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Объедините 3x^{2} и -6x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Перемножьте -1 и 5, чтобы получить -5.

$$-3x^{2}+6x-5x=-24$$

Объедините 6x и -5x, чтобы получить x.

$$-3x^{2}+x=-24$$

Разделите обе части на -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{24}{-3}$$

Деление на -3 аннулирует операцию умножения на -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{24}{-3}$$

Разделите 1 на -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{24}{-3}$$

Разделите -24 на -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=8$$

Разделите -\frac{1}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{6} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=8+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=8+\frac{1}{36}$$

Прибавьте 8 к \frac{1}{36}.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{289}{36}$$

Разложите x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{36}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{17}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{17}{6}$$

Прибавьте \frac{1}{6} к обеим частям уравнения.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$