Решить x/x+1+x+1/x=13/6

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

Найдите x

$$x=-3$$

$$x=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-1,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 6x\left(x+1\right), наименьшее общее кратное чисел x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Перемножьте x и x, чтобы получить x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Чтобы умножить 6x+6 на x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Объедините 6x^{2} и 6x^{2}, чтобы получить 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Чтобы умножить 13x на x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Вычтите 13x^{2} из обеих частей уравнения.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Объедините 12x^{2} и -13x^{2}, чтобы получить -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Вычтите 13x из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Объедините 12x и -13x, чтобы получить -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx+6. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -6.

$$1,-6 2,-3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=2 b=-3$$

Перепишите -x^{2}-x+6 как \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Разложите x в первом и 3 в второй группе.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+2=0 и x+3=0у.

$$x=2 x=-3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-1,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 6x\left(x+1\right), наименьшее общее кратное чисел x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Перемножьте x и x, чтобы получить x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Чтобы умножить 6x+6 на x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Объедините 6x^{2} и 6x^{2}, чтобы получить 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Чтобы умножить 13x на x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Вычтите 13x^{2} из обеих частей уравнения.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Объедините 12x^{2} и -13x^{2}, чтобы получить -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Вычтите 13x из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Объедините 12x и -13x, чтобы получить -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, -1 вместо b и 6 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 1 к 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±5}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 5.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Разделите 6 на -2.

$$x=-3$$

Решите уравнение x=\frac{1±5}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 5 из 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Разделите -4 на -2.

$$x=2$$

Уравнение решено.

$$x=-3 x=2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-1,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 6x\left(x+1\right), наименьшее общее кратное чисел x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Перемножьте x и x, чтобы получить x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Чтобы умножить 6x+6 на x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Объедините 6x^{2} и 6x^{2}, чтобы получить 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Чтобы умножить 13x на x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Вычтите 13x^{2} из обеих частей уравнения.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Объедините 12x^{2} и -13x^{2}, чтобы получить -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Вычтите 13x из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Объедините 12x и -13x, чтобы получить -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$-x^{2}-x=-6$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

Разделите -1 на -1.

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

Разделите -6 на -1.

$$x^{2}+x=6$$

Деление 1, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 6 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Коэффициент x^{2}+x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=2 x=-3$$